じゃんけんをして決着するまでのじゃんけんの回数は？
※但し、特定の１人を決めるじゃんけんとする。
■2人の場合 1.5回
■3人の場合 2.25回
■4人の場合 45/14回
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■100人の場合 結果
■N人の場合 結果 ⇒ E(n)＝｛nCn-1・E(n-1)＋・・・＋nC2・E(2)＋nC1・E(1)＋3^(n-1)｝/(2^n-2)
◆１００人でじゃんけんしたら？ 何時間で決着する？
■2人の場合、決着するまでのじゃんけんする回数の期待値は？
答：１．５回で決着する。
勝敗のつく確率：2/3
あいこの確率：1/3
１回で終了：2/3
２回で終了：1/3×2/3
３回で終了：1/3×1/3×2/3
４回で終了：1/3×1/3×1/3×2/3
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なので、
期待値＝2/3+2×(1/3×2/3)+3×(1/3×1/3×2/3)+4×(1/3×1/3×1/3×2/3)+・・・
＝2×(1/3+2×1/3^2+3×1/3^3+4×1/3^4+・・・)
ところで ｘ＝1/3と置くと
Ｓ＝ｘ＋２ｘ^2＋３ｘ^2＋４ｘ＾4+５ｘ^5＋・・・
ｘ・Ｓ＝ ｘ^2＋２ｘ^3＋３ｘ^4＋４ｘ^5＋・・・
⇒
(1-x)・Ｓ＝ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋・・・
右辺は、等比数列であるから、
＝ｘ(１-ｘ^ｎ）／(１－ｘ) n → ∞
＝ｘ／（１－ｘ）
＝1/2
⇒
Ｓ＝3/4
期待値＝2×Ｓ＝１．５回
■3人の場合
答：２．２５回で決着する。
1回目
①1人が勝ち２人が負ける確率：3×1/3×1/3=1/3
②あいこの確率1/3
③1人負けて2人残る確率：①に同じ 1/3
期待値①＝1/3×1回
期待値②＝1/3×Ｈ2回以上
期待値③＝1/3×(1+1.5)回
期待値＝期待値①＋期待値②＋期待値③
＝1/3回＋期待値②＋5/6回
＝7/6回＋1/3×Ｈ2
2回目 Ｈ2の部分が、
Ｈ2期待値①＝1/3×2回
Ｈ2期待値②＝1/3×Ｈ3回以上
Ｈ2期待値③＝1/3×(2+1.5)回
Ｈ2＝2/3+1/3・Ｈ3＋2/3+1.5/3
3回目 Ｈ3の部分が、同様に
Ｈ3＝3/3+1/3・Ｈ4＋3/3+1.5/3
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以下
ｋ-1回目 Ｈ(k-1)の部分が
Ｈ(k-1)=(k-1)/3+1/3・Ｈk＋(k-1)/3+1.5/3
式を整理して
Ｈ(k-1)=1/3・Ｈk+2/3･k-1/6
従って、これを続けると
期待値=7/6＋1/3×Ｈ2
=7/6＋1/3×(1/3・Ｈ3+2/3･3-1/6)
=7/6＋1/3×(1/3・(1/3・Ｈ4+2/3･4-1/6)+2/3･3-1/6)
=7/6＋1/3×(1/3・(1/3・(1/3・Ｈ5+2/3･5-1/6)+2/3･4-1/6)+2/3･3-1/6)
となり、
ここで、式を書き直して整理すると
=7/6＋1/3^4・Ｈ5+2/3･(5/3^3+4/3^2+3/3^1)-1/6･(1/3^3+1/3^2+1/3)
=7/6＋1/3^4・Ｈ5+6･(5/3^5+4/3^4+3/3^3+2/3^2+1/3)-6･(2/3^2+1/3)-1/6･(1/3^3+1/3^2+1/3)
=-13/6＋1/3^4・Ｈ5+6･Ｓ1-1/6・Ｓ2
となる。（※級数部分をＳ1、Ｓ2でまとめた）
Ｓ1、Ｓ2はよく見られる級数になっており
操作を無限回繰り返すと
等比級数の公式と類似の公式を使って計算できる
すなわち
r=1/3とすると、
Ｓ1部分は Ｓ1→ｒ/(１-ｒ)^2=3/4 に近づき
Ｓ2部分は Ｓ2→1/3･1/(1-r)=1/2 に近づく
従って
期待値=-13/6＋1/3^(n-1)・Ｈn+6･3/4-1/12 n→∞
=-27/12+18/4＋1/3^(n-1)・Ｈn n→∞
=9/4＋1/3^(n-1)・Ｈn
ここで、1/3^(n-1)・Ｈn → 0へと考えられるので(数学的厳密さないけど １操作で1/3になるから)
=9/4
=2.25 回